Vazão volumétrica

Vazão ou caudal (ou ainda, "débito") é o volume e/ou massa de determinado fluido que passa por uma determinada seção de um conduto livre ou forçado, por uma unidade de tempo. Ou seja, vazão é a rapidez com a qual um volume e/ou massa escoa. Vazão corresponde à taxa de escoamento, ou seja, quantidade de material transportado através de conduto livre ou forçado, por unidade de tempo.  Ainda outra definição é a de um fluxo volumétrico.

Um conduto livre pode ser um canal, um rio ou uma tubulação. Um conduto forçado pode ser uma tubulação com pressão positiva ou negativa. Assim, pode-se escrever a vazão.

Com a área a em m² e a velocidade de escoamento v em m/s, vazão é dada em m³/s.

Em hidráulica ou em mecânica dos fluidos, define-se vazão como a relação entre o volume e o tempo. A vazão pode ser determinada a partir do escoamento de um fluido através de determinada seção transversal de um conduto livre (canal, rio ou tubulação aberta) ou de um conduto forçado (tubulação com pressão positiva ou negativa). Isto significa que a vazão representa a rapidez com a qual um volume escoa.

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Cálculo da Vazão Volumétrica 

A forma mais simples para se calcular a vazão volumétrica é apresentada a seguir na equação mostrada.

Q =V/t

Onde: Q representa a vazão volumétrica, V é o volume e t o intervalo de tempo para se encher o reservatório.

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Relação entre Área e Velocidade

Uma outra forma matemática de se determinar a vazão volumétrica é através do produto entre a área da seção transversal do conduto e a velocidade do escoamento.

Q = v.A

Onde: Q representa a vazão volumétrica, v é a velocidade do escoamento e A é a área da seção transversal da tubulação.

A = π*r²/2    (π vezes raio ao quadrado dividir por dois); π = 3,14

r = D/2 ; D – diâmetro (raio é igual a diâmetro dividir por dois)

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Relações importantes

1metro cúbico (1m³=1000litros )

1 dm³ = 1 litro

1h=3600s

1min=60s

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Exercícios resolvidos

1. Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 214 litros, sabendo-se que a velocidade de escoamento do líquido é de 0,3m/s e o diâmetro do tubo conectado ao tambor é igual a 30mm.

Resolução

Q = v.A

Q = v*π*r²/2

Q = 0,3*3,14*0,015²/2

Q = 0, 0002m³/s

Q = 0,21l/s

Q =V/t ;   t = V/Q

t = 214/0,21

t =16,9min

2 – Qual a vazão de água (em litros por segundo) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a velocidade da água como sendo 4 m/s? Lembre-se que 1 m³ = 1000 litros

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Solução:

Primeiramente, calculamos a área da secção transversal do tubo: A = pi*r*r/2    

r = D/2 ; D – diâmetro (raio é igual a diâmetro dividir por dois)

A = 3.14*0,016²/2 = 0,000803m²

Agora, podemos determinar a vazão no tubo:

Vazão = V . A = 4 x 0,000803 = 0,0032 m³/s x 1000 = 3,2 litros/s

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3 – Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s?

 Solução: Q = V . A                                                             

Logo:   V = Q/ A                                                             

Logo, V = 0,002/0,00049 = V = 4,08 m/s

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Exercícios propostos

1.Calcular o diâmetro de uma tubulação, sabendo-se que pela mesma, escoa água a uma velocidade de 6m/s. A tubulação está conectada a um tanque com volume de 12000 litros e leva 1 hora, 5 minutos e 49 segundos para enchê-lo totalmente.

 

2.Uma mangueira é conectada em um tanque com capacidade de 10000 litros. O tempo gasto para encher totalmente o tanque é de 500 minutos. Calcule a vazão volumétrica máxima da mangueira.

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3. Calcular a vazão volumétrica de um fluido que escoa por uma tubulação com uma velocidade média de 1,4 m/s, sabendo-se que o diâmetro interno da seção da tubulação é igual a 5cm.

 

4. Calcular o volume de um reservatório, sabendo-se que a vazão de escoamento de um líquido é igual a 5 l/s. Para encher o reservatório totalmente são necessárias 2 horas.

 

5. No entamboramento de um determinado produto são utilizados tambores de 214 litros. Para encher um tambor levam-se 20 min. Calcule: a) A vazão volumétrica da tubulação utilizada para encher os tambores. b) O diâmetro da tubulação, em milímetros, sabendo-se que a velocidade de escoamento é de 5 m/s. c) A produção após 24 horas, desconsiderando-se o tempo de deslocamento dos tambores.

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Equação de continuidade

Quando estamos jogando água nas plantas do jardim ou lavando um carro com o auxílio de uma mangueira, é comum utilizarmos o dedo polegar para fechar um pouco a saída de água e, então, aumentar a velocidade de saída do líquido. A demonstração da explicação para esse fato é feita a partir da equação da continuidade.

Essa equação relaciona a velocidade de escoamento de um fluido e a área disponível para tal escoamento, perceba que o caminho feito pelo fluido possui duas áreas diferentes: A1 > A2  e vice - versa. Imagine, portanto, que, em um intervalo de tempo (Δt), um volume (ΔV) do fluido entre pela área A1. Adotando o fluido como incompressível, devemos assumir que o mesmo volume (ΔV) deverá sair pela extremidade da área A2.

Durante o intervalo de tempo considerado, o espaço percorrido pelo fluido pode ser dado, a partir da equação da velocidade média, por Δs = v.Δt, em que v é a velocidade de escoamento. Tomando as marcações acinzentadas da figura como os volumes ocupados pelo fluido em movimento e sabendo que eles são iguais, temos:

V1 = V2

A1. Δs = A2. Δs

A1.v1.Δt = A2. v2.Δt

A1 .v1 = A2. v2 (Está é a equação de continuidade)

Assim, podemos perceber que, quanto menor for a área de escoamento disponível para um fluído, maior será a sua velocidade e vice-versa. Como exemplo final, podemos imaginar o “fio” de água formado por uma torneira meio aberta. Repare que, quanto mais baixo se olha, mais fino estará o filete de água, pois, com a ação da aceleração da gravidade, a velocidade do fluido aumenta, diminuindo a sua área de escoamento.

A equação da continuidade relaciona a vazão em massa na entrada e na saída de um sistema.

ρ1.A1 .v1 = ρ2.A2. v2

Para o caso de fluido incompressível, a massa específica é a mesma tanto na entrada quanto na saída, portanto: A1 .v1 = A2. v2

 A equação apresentada mostra que as velocidades são inversamente proporcionais as áreas, ou seja, uma redução de área corresponde a um aumento de velocidade e vice-vers

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A1 .v1 = A2. v2

→ v1*π*r1²/2 = v2*π*r2²/2 

→v1*r1² = v2*r2² (Equação de continuidade, simplificada)

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A1 .v1 = A2. v2 →   Essa expressão recebe o nome de equação de continuidade. A partir dessa equação podemos dizer que, em qualquer ponto do escoamento do fluido, o produto da velocidade de escoamento pela área do tubo é constante; consequentemente, nas partes mais estreitas do tubo, ou seja, na menor área, a velocidade de escoamento é maior.

O produto v.A, que no SI é dado em m³/s, recebe o nome de vazão (Q):

Q = v.A

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Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é obtida a partir do Teorema da Conservação de Energia Mecânica e da relação entre o trabalho mecânico e a energia dos corpos.

A equação de Bernoulli é utilizada para descrever o comportamento dos fluidos em movimento no interior de um tubo. Ela recebe esse nome em homenagem a Daniel Bernoulli, matemático suíço que a publicou em 1738.

um fluido ideal que apresenta as seguintes características:

• Escoamento linear – velocidade constante em qualquer ponto do fluído;

• Incompressível – com densidade constante;

• Sem viscosidade;

• Escoamento irrotacional.

Nesse caso, os fatores que interferem no escoamento do fluido são a diferença de pressão nas extremidades do tubo, a área de seção transversal e a altura.

Como o líquido está em movimento a uma determinada altura, ele possui energia potencial gravitacional e energia cinética.

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Na extremidade de um cano ou um tubo, o fluído se movimenta com velocidade v1 através da área A1 de modo que uma quantidade de massa igual a Δm, representada pelo azul escuro, que ocupava o volume V1 delimitado por A1 e Δx1 passe a ocupar o espaço delimitando um volume V2, que é encerrado pela área A2 e o deslocamento Δx2.

O trabalho resultante sobre o sistema pode ser obtido a partir das seguintes considerações:
1) Na entrada o trabalho τ1 é dado por:

τ1 = F1 . Δx1
Ou
τ1 = p1 . A1 . Δx1

2) Na saída a força atua em sentido contrário ao deslocamento. Desta forma, o trabalho τ2 é dado por:

τ2 = - F2 . Δx2
Ou
τ2 = - p2 . A2 . Δx2

Analisando o deslocamento efetivo de massa pode se concluir que o trabalho gravitacional, também contrário a força F1 é dado pelo produto da força gravitacional pelo deslocamento na vertical. Este trabalho é dado por:

τg = -Fg . Δy
Ou
τg = - Δm . g . (y2 – y1)

Nesta situação não serão consideradas a ação das forças conservativas que agem no interior do fluído em questão, pois não comprometem a análise. Em decorrência disso, podemos interpretar a variação da energia potencial como sendo zero. ΔEp = 0.

O trabalho efetivo total realizado pelas ações externas será então:

τext = τ1 + τ2 + τg

A energia cinética do sistema varia conforme a variação da velocidade da massa de fluído em azul escuro, de forma que:

ΔEc = ½ Δm . v2² – ½ Δm . v1²

Aplicando o princípio de conservação da energia:

ΔEc + ΔEp = τext (a1)

Com:
ΔEp = 0

Obtém-se:
ΔEc + 0 = τext

Logo:
ΔEc = τ1 + τ2 + τg (a2)

Reescrevendo a equação:
½ Δm . v22 – ½ Δm . v12 = p1 . A1 . Δx1 – p2. A2. Δx2 – Δm . g . (y2 – y1)                        (a3)

Existe um termo semelhante nesta equação que é o volume ocupado pela porção de massa Δm que é:

V1 = A1. Δx1
E
V2 = A2. Δx2

A densidade absoluta ρ da substância é dada por:
ρ = Δm/V

Isolando V e escrevendo-o em função de A1 e Δx1 e A2 e Δx2:
V1 = Δm/ρ
V2 = Δm/ρ

Como
V1 = V2

A equação (a3) pode ser reescrita como
½ Δm . v2² – ½ Δm . v1² = p1 . Δm/ρ – p2 . Δm/ρ – Δm . g . (y2 – y1)                  (a4)

O termo Δm pode ser removido se dividir a equação toda por Δm:

½v2² – ½v1² = p1/ρ – p2/ρ – g . (y2 – y1)             (a5)

É conveniente multiplicar a equação por ρ e então

½ . ρ . v2²– ½.ρ.v1² = p1 - p2 – ρ . g . y2 + ρ . g . y1 (a6)

Reagrupando os termos:

– p1 – ρ . g . y1 – ½ . ρ . v1² = – p2 – ρ . g . y2 – ½ . ρ . v2²

Ou
p1 + ρ . g . y1 + ½ . ρ . v1² = + p2 + ρ . g . y2 + ½ . ρ . v2² (a7)

Nota-se que esta equação é uma constante. Então os subscritos 1 e 2 não são relevantes e a equação de Bernoulli pode ser reescrita em sua forma mais geral:

p + ρ.g.y + ½.ρ.v²= constante            (a8)

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Exercícios propostos

1. A artéria aorta de um adulto tem um raio de cerca de 1cm, e o sangue nela flui com velocidade de 33cm/s. Quantos litros de sangue são transportados pela aorta?

A. transporta 0,104 litros em cada 1segundo             B. transporta 1 litro em cada 1segundo

C. transporta 0,33 litros em cada 1segundo               D. transporta 3,3 litros em cada 1segundo

 

2. Relativamente ao número anterior. Sendo de 5 litros o volume de sangue no organismo, use o resultado anterior para estimar o tempo médio que o sangue demora a retornar ao coração.

A. 150s                                B. 1.5s                                 C. 5s                                         D. 48s

 

3. Um fluido ideal percorre um cano cilíndrico em regime permanente. Em um estrangulamento onde o diâmetro do cano fica reduzido à metade, a velocidade do fluido fica:

A reduzida a 1/4.                  B  reduzida à metade.         C  duplicada.           D  quadruplicada.

 

4. A velocidade do sangue na artéria aorta de um adulto, que possui em média 5,4 litros de sangue, tem módulo igual a aproximadamente 30 cm/s. A área transversal da artéria é de aproximadamente 2,5 cm². Qual o intervalo de tempo, em segundos, necessário para a aorta transportar o volume de sangue de um adulto?

A 72s                                   B 12s                                       C 30s                                   D 162s

 

5. Num sistema de drenagem, uma pipa de 25 cm de diâmetro interno drena para outra pipa  conectada de 22 cm de diâmetro interno. Se a velocidade da água através da pipa maior é 5 cm/s,  determine a velocidade média na pipa menor.

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Respostas de alguns números 

1-  Q=S.v=π.r².v=3,14*1²*33  ---  Z=104cm³/s  ---  Z=0,104L/s (transporta 0,104 litros em cada 1 segundo)

2 - Q=ΔV/Δt  ---  0,104=5/Δt  ---  Δt=48s

5. 6,46 cm/s

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